Линейная скорость через угловую, теория и онлайн калькуляторы

Линейная скорость через угловую, теория и онлайн калькуляторы
Определение

Мгновенной (истинной) скоростью ($\overline{v}$) называют векторную физическую величину, равную производной от вектора перемещения по времени ($t$):

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\ }\left(1\right).\]

$\Delta \overline{r}$- вектор перемещения материальной точки, это перемещение точка совершает за отрезок времени $\Delta t$.

Выражение линейной скорости через угловую скорость

Скорость называют мгновенной, так как ее значение показывает величину скорости в определенный момент времени.

Так как вектор перемещения $\Delta \overline{r}$ направлен по хорде, которая соединяет две близкие точки криволинейной траектории движения частицы, при уменьшении расстояния между этими точками, вектор $\Delta \overline{r}$ занимает положение касательной к линии, по которой движется частица. Из определения (1) следует, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Скорость прохождения пути ($s$) определяют:

\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(2\right).\ }\]

Мгновенную скорость называют линейной тогда, когда хотят подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.

Если материальная точка движется по окружности, то ее положение характеризуют при помощи угла поворота ($\varphi $), который образует радиус-вектор ($\overline{r}$), определяющий положение рассматриваемой точки А с выделенным неизменным направлением от которого производят отсчет (рис.1).

Быстроту изменения угла поворота $\varphi $ характеризуют при помощи такой физической величины как угловая скорость. Обычно угловую скорость обозначают буквой $\omega $. Угловая скорость равна:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(3\right).\]

Вращение называют равномерным, если угловая скорость постоянна $\omega =const$. При равномерном вращении $\omega $ можно называть угловой частотой.

Линейная скорость движения точки по окружности связана с угловой скоростью. Пусть точка проходит путь равный длине дуги XA (рис.1). Этот путь обозначим $s$. Если радиус окружности равен$\ R=const$, то длину дуги найдем как:

\[s=R\varphi \ \left(4\right).\]

Продифференцируем обе части выражения (4) по времени, имеем:

\[\frac{ds}{dt}=\frac{d\left(R\varphi \right)}{dt}=R\frac{d\varphi }{dt}\left(5\right).\]

Мы видим, что в левой части получена величина линейной скорости, в правой части радиус окружности умножен на угловую скорость:

\[v=R\omega \left(6\right).\]

Формула (6) будет справедлива при движении точки по криволинейной траектории отличной от окружности, но в этом случае $R$ — радиус кривизны траектории в месте нахождения частицы.

В векторном виде выражение (6) записывают так:

\[\overline{v}=\overline{\omega }\times \overline{r}\left(7\right),\]

$\overline{r}$ — вектор, соединяющий ось вращения и движущуюся точку (рис. 2). Модуль скорости, используя формулу (7) найдем как:

\[v=\omega r{\sin \alpha \ \left(8\right),\ }\]

где $\alpha $ — угол между вектором угловой скорости и $\overline{r}.$

Угловая скорость через линейную

Исходя из приведенных выше формул угловую скорость можно выразить через линейную. При движении по окружности:

\[\omega =\frac{v}{R}\left(9\right).\]

Или используя формулу (8) угловую скорость выразим как:

\[\omega =\frac{v}{r{\sin \alpha \ }}\left(10\right).\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Диск равномерно вращается вокруг оси (O), перпендикулярной его плоскости, проходящей через его центр (рис.3). Линейная скорость точки A равна $v_1$, Точка B находится на расстоянии $\Delta l$ ближе к оси и имеет лилейную скорость $v_2$. Какова угловая скорость вращения диска ($\omega $)?

Решение. Основой для решения задачи будет формула:

\[\omega =\frac{v}{R}\left(1. 2=15\ \left(\frac{м}{с}\right).\]

Ответ. $v\left(t’\right)=15\frac{м}{с}$

Читать дальше: масса и плотность вещества.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Линейная скорость | формула и расшифровка

4863

3

20.05.2022

3 мин. на чтение

Понимание любого понятия в физике предполагает расшифровку определения связанных терминов. Таким образом, в случае линейной скорости становится необходимым определить линейную скорость и скорость по отдельности.

Линейная скорость относится к движению объекта по прямой линии или по заданной оси. С другой стороны, скорость означает расстояние, которое движущееся тело проходит в определенном направлении за определенное время. Таким образом, сочетание этих двух определений поможет вам понять основную концепцию линейной скорости.

Что такое скорость?

Термин «скорость» может использоваться в различных областях, включая физику, термодинамику, химию и т. д. Прежде чем мы перейдем к пониманию линейной и угловой скорости, мы сначала определим скорость как отдельный термин.

Скорость можно объяснить как скорость изменения положения объекта в течение определенного срока или диапазона времени, ее можно разделить на два типа: угловая скорость и линейная скорость. Чтобы определить скорость, мы возьмем пример, поэтому представьте, что вы едете по дороге и смотрите на приборную панель или любые вывески во время движения, спидометр показывает, что автомобиль движется со скоростью 65 км в час, тогда мы можем сказать, что скорость 65 км в час — это скорость, которая представляет собой скорость изменения км по отношению к часам, которые мы видим. Формула скорости равна расстоянию, деленному на время, может рассчитать линейную скорость объекта. В формуле v обозначает линейную скорость, d обозначает пройденное расстояние, а t обозначает время.

Теперь, возвращаясь к ее различным типам, линейная скорость — это просто скорость изменения положения объекта, который движется по прямому пути, поэтому любой движущийся объект имеет линейную скорость, с другой стороны, угловая скорость применяется только или может применяться к объектам, которые движутся по круговой траектории, а также может быть определена как скорость изменения углового смещения во времени. Угловая скорость, измеряемая в рад/с, которая также может быть преобразована в градусы, представляет собой изменение угла во времени. v=rω для расчета линейной скорости по угловой скорости.

V = ωr, где ω равно радианам в секунду, а r — радиус.

Если период вращения равен t, то ω=^2π/_t. Как результат, v=^2π∗r/_t.

Линейную скорость можно испытать в повседневной жизни, поскольку мы видим так много движущихся объектов, которые имеют линейную скорость, таких как человек, идущий на прогулку, вождение, бег или езду на велосипеде, всегда может быть линейная скорость, которая может наблюдаться. Кроме того, бывают случаи, когда объект может двигаться по прямому пути с заданной постоянной скоростью, это можно сказать, что объект движется с постоянной линейной скоростью, проще говоря, мы можем сказать, что скорость Лены объекта не изменяется и, следовательно, постоянный. Линейная скорость, измеряемая в м/с, — это скорость по прямой.

Когда мы говорим об окружности, связь между дугой на окружности и углом, на который она опирается, измеренным в излучении, позволяет нам определить величины, связанные с движением по окружности, и благодаря этому также мы можем сказать, что объекты, движущиеся по круговой траектории, относятся к типу 2. скорости, когда линейна, а другая — угловая скорость, как упоминалось выше. В дополнение к этому мы также можем понимать равномерное круговое движение. Равномерное круговое движение может определять линейную скорость, которая измеряет изменение длины дуги с течением времени.

Когда мы говорим о круговом движении, мы также говорим о направлении линейной скорости. Теперь направление скорости частицы Салина является тангенциальным к круговому пути, который мы видим в любой данной точке этого кругового движения. Направление играет очень важную роль в определении изменения характеристик, скорость является физической векторной величиной, что означает, что для ее правильного определения требуются как величина, так и направление, поэтому, если происходит изменение скорости, направления или того и другого, меняется философия объекта, и тогда мы говорим, что объект является ускоренным движением или ускоряется.

Что такое линейная скорость? 

В самом основном смысле определение линейной скорости связано с измерением скорости объекта, когда он движется в определенном направлении. Следовательно, это относится к смещению объекта во времени. 

Однако объект должен двигаться по определенной прямой линии. Единицей линейной скорости в системе СИ является метр в секунду или м/с (мс- ¹ ). 

С другой стороны, размерная формула линейной скорости имеет вид M ⁰ L ¹ T ¹

Кроме того, вы должны знать, что это векторная величина, что указывает на то, что она имеет направленный характер.  

Какая формула линейной скорости? 

Нет никаких различий между обычной скоростью и линейной скоростью, поскольку обе они являются векторными величинами. 

Следовательно, формула линейной скорости –  ν = d/t

Например, предположим, что движущийся объект преодолевает расстояние 500 метров по прямой линии за 10 секунд. В этом случае линейная скорость объекта равна – 

ν = 500 метров/10 секунд = 50 м/с или 50 мс- ¹ . 

Логически говоря, линейная скорость также применяется к объекту, который движется в круговом направлении, следуя геометрическому месту. В этом случае она называется угловой скоростью. 

Криволинейное движение

Связь между линейной скоростью и угловой скоростью

Угловая скорость – это скорость изменения углового положения вращающегося тела. Мы можем определить угловую скорость частицы как скорость, с которой частица вращается вокруг центральной точки, то есть скорость изменения во времени ее углового смещения относительно начала координат. Линейная скорость — это мера «скорости изменения смещения по отношению ко времени, когда объект движется по прямому пути». Линейная скорость является векторной величиной. В этой статье давайте узнаем о связи между линейной скоростью и угловой скоростью.
Содержание:

• • Связь между линейной скоростью и угловой скоростью
  • Разница между угловой скоростью и линейной скоростью
  • Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Связь между линейной скоростью и угловой скоростью

Рассмотрим тело произвольной формы, совершающее вращательное движение, как показано на рисунке ниже. Линейная скорость частицы связана с угловой скоростью. При рассмотрении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси протяженное тело рассматривается как система частиц, движущихся по окружности, лежащей на плоскости, перпендикулярной оси, так как центр вращения лежит на оси.

На этом рисунке показано, что частица P вращается вокруг фиксированной оси, проходящей через O. Здесь частица представляет собой окружность на оси. Радиус окружности — это перпендикулярное расстояние между точкой P и осью. Угол показывает угловое смещение Δθ данной частицы в момент времени Δt. Средняя угловая скорость за время Δt равна Δθ/Δt. Поскольку Δt стремится к нулю, отношение Δθ/Δt достигает предела, известного как мгновенная угловая скорость dθ/dt. Мгновенная угловая скорость обозначается ω.

Из знания о круговом движении мы можем сказать, что величина линейной скорости частицы, движущейся по окружности, связана с угловой скоростью частицы ω соотношением υ/ω = r, где r обозначает радиус. В любой момент времени соотношение v/ r = ω применимо к каждой частице, имеющей твердое тело.

Если перпендикулярное расстояние частицы от фиксированной оси равно r _i , то линейная скорость в данный момент времени v определяется соотношением

В _i = ωr _i

Аналогичным образом можно записать выражение для линейной скорости для n различных частиц, составляющих систему. Из выражения можно сказать, что для частиц, лежащих на оси, тангенциальная скорость равна нулю, так как радиус равен нулю. Кроме того, угловая скорость ω является векторной величиной, постоянной для всех частиц, участвующих в движении.

Разница между угловой скоростью и линейной скоростью

Угловая скорость	Линейная скорость
Угловая скорость определяется как скорость изменения углового положения вращающегося тела.	Линейная скорость определяется как скорость изменения смещения относительно времени, когда объект движется по прямолинейному пути.
Когда объект совершает круговое движение, угловая скорость частицы направлена ​​вдоль оси окружности. Угловая скорость остается неизменной.	Когда объект совершает круговое движение, линейная скорость частицы соответствует окружности. Линейная скорость меняется в каждой точке окружности.
Угловая скорость измеряется в градусах и радианах.	Линейная скорость измеряется в м/с.
Угловая скорость представлена ​​ω.	Линейная скорость представлена ​​v.

Из видео вы узнаете, что угловая скорость связана не только с круговым движением, круговое движение является частным случаем, из которого изучается угловая скорость.

Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Q1

Что такое линейная скорость?

Линейная скорость определяется как скорость изменения смещения относительно времени, когда объект движется по прямой траектории.

Q2

Состояние истинное или ложное: линейная скорость является скалярной величиной.

Ложь.

Q3

Что такое единица угловой скорости в системе СИ?

Радиан в секунду (рад/с) — единица измерения угловой скорости в системе СИ.

Q4

Связь между линейной скоростью и угловой скоростью выражается с помощью какой формулы?

В _i = ωr _i

Q5

Как измеряется линейная скорость?

Линейная скорость измеряется в м/с.

Надеюсь, вы подробно поняли связь между линейной скоростью и угловой скоростью. Чтобы узнать о различных темах по естествознанию и математике, посетите BYJU’S.

1.4: Скорость и угловая скорость

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Тед Сандстром и Стивен Шликер
• Государственный университет Гранд-Вэлли через ScholarWorks @Grand Valley Государственный университет

Основные вопросы

Следующие вопросы предназначены для того, чтобы направлять наше изучение материала в этом разделе. Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и быть в состоянии написать точные, связные ответы на эти вопросы.

• Что такое длина дуги?
• В чем разница между линейной скоростью и угловой скоростью?
• Какие формулы связывают линейную скорость с угловой скоростью?

Начальное задание

1. Какова формула длины окружности \(C\) круга, радиус которого равен \(r\)?
2. Предположим, что человек \(A\) идет по окружности с радиусом 10 футов, а человек B идет по окружности с радиусом 20 футов. Кроме того, предположим, что обоим \(A\) и \(B\) требуется 1 минута, чтобы пройти четверть окружности их соответствующих кругов (четверть полного оборота). Кто прошел наибольшее расстояние?
3. Предположим, что оба человека продолжают идти с той же скоростью, что и в первую минуту. Сколько полных оборотов по кругу совершит каждый человек за 8 минут? Через 10 минут?

Длина дуги на окружности

В разделе 1. 3 мы узнали, что мера угла в радианах равна длине дуги на единичной окружности, связанной с этим углом. Таким образом, дуга длины 1 на единичной окружности образует угол в 1 радиан. Будут времена, когда также будет полезно знать длину дуг на других окружностях, которые опираются на тот же самый угол.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Дуги, опирающиеся на угол в 1 радиан.

На рисунке \(\PageIndex{1}\) внутренний круг имеет радиус 1, внешний круг имеет радиус \(r\), а показанный угол имеет меру \(\theta\ ) радианы. Таким образом, длина дуги на единичной окружности, опирающейся на угол, равна \(\theta\), и мы использовали s для представления длины дуги на окружности радиуса \(r\), опирающейся на угол.

Напомним, что длина окружности радиуса \(r\) равна \(2\pi r\), а длина окружности радиуса 1 равна \(2\pi\). Следовательно, отношение длины дуги \(s\) на окружности радиуса \(r\), которая образует угол \(\тета\) радиан, к соответствующей дуге на единичной окружности, равно \(\dfrac{2 \pi r}{2\pi} = r\). Отсюда следует, что

\[\dfrac{s}{\theta} = \dfrac{2\pi r}{\pi}\]

\[s = r\theta\]

Определение

На окружности радиуса \ (r\), длина дуги s, пересекаемая центральным углом в радианах, равна

\[s = r\theta\]

Примечание

Важно помнить, что для расчета длины дуги мы должны измерить центральную угол в радианах.

(Непонятно, почему буква \(s\) обычно используется для обозначения длины дуги. Одно из объяснений состоит в том, что дуга «стягивает» угол.)

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Использование окружностей в начальном упражнении для этого раздела:

1. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 10 футов, которая тянется центральный угол \(\dfrac{\pi}{2}\) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности?
2. Используйте формулу для длины дуги, чтобы определить длину дуги на окружности радиусом 20 футов, образующей центральный угол \(\dfrac{\pi}{2}\) радиан. Результат равен одной четверти длины окружности? 9\circ}) = \dfrac{11\pi}{90}\), и \[s = r\theta = (3ft)\dfrac{11\pi}{90}\] \[s = \dfrac{11 \pi}{30}\] Длина дуги составляет \(\dfrac{11\pi}{30}\) футов или около \(1,1519\) футов.

Почему радианы?

Градусная мера знакома и удобна, так почему же мы вводим единицу измерения радиан? Это хороший вопрос, но с тонким ответом. Как мы только что видели, длина \(s\) дуги на окружности радиуса \(r\), опирающейся на угол \(\theta\) радиан, определяется выражением \(s = r\theta\), поэтому \(\тета = \dfrac{s}{r}\). В результате радиан представляет собой отношение двух длин (отношение длины дуги к радиусу окружности), что делает радиан безразмерной величиной. Таким образом, измерение в радианах можно рассматривать как действительное число. Это удобно для работы с длиной дуги (и угловой скоростью, как мы скоро увидим), а также будет полезно при изучении периодических явлений в главе 2. По этой причине радианная мера повсеместно используется в математике, физике и технике как в отличие от степеней, потому что, когда мы используем градусную меру, мы всегда должны учитывать градусную размерность в вычислениях. Это означает, что мера в радианах на самом деле более естественна с математической точки зрения, чем градусная мера.

Линейная и угловая скорость

Связь между дугой на окружности и углом, который она образует, измеряемым в радианах, позволяет нам определять величины, связанные с движением по окружности. Объекты, движущиеся по круговым траекториям, обладают двумя типами скорости: линейной и угловой скоростью. Подумайте о вращении на карусели. Если вы бросите камешек с края движущейся карусели, камешек не упадет прямо вниз. Вместо этого он будет продолжать двигаться вперед со скоростью, которую карусель имела в момент выпуска камешка. Это линейная скорость камня. линейная скорость измеряет изменение длины дуги во времени.

Рассмотрим точку \(P\), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \(r\). Это называется равномерным круговым движением . Предположим, что P перемещается на расстояние s единиц за время \(t\). Линейная скорость v точки \(P\) равна пройденному ею расстоянию, деленному на прошедшее время. То есть \(v = \dfrac{s}{t}\). Расстояние s — это длина дуги, и мы знаем, что \(s = r\theta\).

Определение: линейная скорость

Рассмотрим точку \(P\), движущуюся с постоянной скоростью по окружности радиуса \(r\). линейная скорость \(v\) точки \(P\) определяется выражением

\[v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{r\theta}{t}\]

где \(\theta\), измеренный в радианах, представляет собой центральный угол, опирающийся на дугу длины \(s\).

Другой способ измерения скорости движения объекта с постоянной скоростью по круговой траектории называется угловой скоростью. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени.

Определение: угловая скорость

Рассмотрим точку P, движущуюся с постоянной скоростью по окружности окружности радиуса r по дуге, соответствующей центральному углу измерения \(\theta\) (в радианах). Угловая скорость \(\omega\) точки равна отношению угла \(\theta\) в радианах к времени t, которое требуется, чтобы выметать этот угол. Это

\[\omega = \dfrac{\theta}{t}.\]

Примечание

Символ \(\omega\) — это строчная греческая буква «омега». Также обратите внимание, что угловая скорость не зависит от радиуса r.

Это несколько специальное определение угловой скорости, которое немного отличается от общего термина, используемого для описания скорости вращения точки по окружности. Этот термин равен оборотов в минуту или оборотов в минуту . Иногда используется единица оборотов в секунду . Лучший способ представить число оборотов в минуту — использовать «долю единицы измерения» \(\dfrac{rev}{min}\). Поскольку 1 оборот равен \(2\pi\) радианам, мы видим, что если объект min движется со скоростью x оборотов в минуту, то

\[\omega = x \dfrac{об} {мин} \cdot \dfrac{2\pi рад} {об} = x(2\pi)\dfrac{rad}{мин}. \]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Предположим, что круглый диск вращается со скоростью 40 оборотов в минуту. Мы хотим определить линейную скорость v (в футах в секунду) точки, которая находится в 3 футах от центра диска.

1. Определите угловую скорость \(\omega\) точки в радианах в минуту. Подсказка : Используйте формулу \[\omega = x \dfrac{об} {мин} \cdot \dfrac{2\pi rad}{об}.\]
2. Теперь мы знаем \(\omega = \dfrac{\theta}{t}\). Поэтому используйте формулу \(v = \dfrac{r\theta}{t}\), чтобы определить \(v\) в футах в минуту.
3. Наконец, преобразуйте линейную скорость v в футах в минуту в футы в секунду.

Ответить

1. Мы видим, что

\[\omega = 40\dfrac{об} {мин} \times \dfrac{2\pi\space рад}{об}\]
\[\omega = 80\pi\dfrac{rad}{мин}\ ]

2. Результат пункта (а) дает

\[v = r(\dfrac{\theta}{r}) = r\omega\]
\[v = (3ft) \times 80\pi\dfrac{rad}{min}\]
\[v = 240\pi\dfrac{ft}{мин}\]

3. Теперь мы конвертируем футы в минуту в футы в секунду.

\[v = 240\pi\dfrac{ft}{min} \times \dfrac{1\space min}{60\space sec}\]
\[v = 4\pi\dfrac{ft}{sec} \приблизительно 12,566\dfrac{ft}{sec}\]

Обратите внимание, что в упражнении 1.18, как только мы определили угловую скорость, мы смогли определить и линейную скорость. То, что мы сделали в данном конкретном случае, мы можем сделать в целом. Существует простая формула, напрямую связывающая линейную скорость с угловой скоростью. Наша формула для линейной скорости: \(v =\dfrac{s}{t} \dfrac{r\theta}{t}\). Обратите внимание, что мы можем записать это как \(v = r\dfrac{\theta}{t}\). То есть \(v = r\omega\)

Примечание

Рассмотрим точку \(P\), движущуюся с постоянной (линейной) скоростью \(v\) по окружности радиуса \(r\). Если угловая скорость равна \(\omega\), то

\[v = r\omega\]

Итак, в упражнении 1.18, как только мы определили, что \(\omega = 80\pi \dfrac{rad}{min }\), мы могли бы определить v следующим образом:

\[v = r\omega = (3\space ft)(80\pi\dfrac{rad}{min} = 240\pi\dfrac{ft}{min }). \]

Обратите внимание, что, поскольку радианы «безразмерны», мы можем их опускать при работе с уравнениями, подобными предыдущему.

Пример \(\PageIndex{1}\): линейная и угловая скорость

LP (long play) или виниловая пластинка со скоростью вращения 331 об/мин представляет собой аналоговый носитель для хранения звука и долгое время использовался для прослушивания музыки. LP обычно имеет диаметр 12 или 10 дюймов. Чтобы работать с нашими формулами для линейной и угловой скорости, нам нужно знать угловую скорость в радианах в единицу времени. Для этого мы преобразуем \(33\dfrac{1}{3}\) оборотов в минуту в радианы в минуту. Мы будем использовать тот факт, что \(33\dfrac{1}{3} = \dfrac{100}{3}\)

\[\omega = \dfrac{100}{3}\dfrac{об} {мин} \times \dfrac{2\pi \space rad}{1\space rev} = \dfrac{200\pi}{ 3}\dfrac{rad}{min}\]

Теперь мы можем использовать формулу v D r! для определения линейной скорости точки на краю 12-дюймового LP. Радиус равен 6 дюймам, поэтому

\[v = r\omega = (6\space дюймов)(\dfrac{200\pi}{3}\dfrac{rad}{min}) = 400\pi \dfrac{ дюймы}{мин}\]

Может быть удобнее выразить это как десятичное значение в дюймах в секунду. Итак, мы получаем

\[v = 400\pi \dfrac{дюймы}{мин} \times \dfrac{1\space min}{60 \space sec} \приблизительно 20,944\dfrac{дюймы}{sec}\]

Линейная скорость составляет примерно 20,944 дюйма в секунду.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Для этих задач предположим, что Земля представляет собой сферу с радиусом 3959 миль. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, человек, стоящий на Земле, будет двигаться по кругу, перпендикулярному оси.

1. Земля совершает оборот вокруг своей оси каждые \(24\) часа. Определить угловую скорость Земли в радианах в час. (Оставьте свой ответ в терминах числа ��\(\pi\).) 9\circ\) на север будет двигаться по кругу радиусом 2800 миль. Определите линейную скорость этого человека в милях в час и футах в секунду.

Ответить

1. Один оборот соответствует \(2\pi\) радианам. Итак, \[\omega = \dfrac{2\pi\space rad}{24\space hr} = \dfrac{\pi\space rad}{12\space hr}. \]
2. Для определения линейной скорости используем формулу \(v = r\omega\) \[v = r\omega = (3959mi)(\dfrac{\pi}{12}\dfrac{rad}{hr}) = \dfrac{3959\pi}{12}\dfrac{mi}{hr}\] Линейная скорость составляет примерно 1036,5 миль в час.
3. Для определения линейной скорости используем формулу \(v = r\omega\) \[v = r\omega = (2800mi)(\dfrac{\pi}{12}\dfrac{rad}{hr}) = \dfrac{2800\pi}{12}\dfrac{mi}{hr}\] Линейная скорость составляет примерно 733,04 мили в час. Чтобы преобразовать это в футы в секунду, мы используем тот факт, что в одной миле 5280 футов, в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Итак,

\[v = (\dfrac{2800\pi}{12}\dfrac{mi}{hr})(\dfrac{5280\space ft}{1\space mi})(\dfrac{1\space hr }{60\пробел мин})(\dfrac{1\пробел мин}{60\пробел сек}) = \dfrac{(2800\pi)(5280)}{12\cdot 60\cdot 60}\dfrac{ft {сек}\]

Таким образом, линейная скорость приблизительно равна \(1075,1\) футов в секунду.

Резюме

В этом разделе мы изучили следующие важные понятия и идеи:

• На окружности радиуса \(r\) длина дуги \(s\), пересекаемая центральным углом с мера радиана \[s = r\theta\]
• Равномерное круговое движение — это когда точка движется с постоянной скоростью по окружности. линейная скорость — это длина дуги, пройденная точкой, деленная на прошедшее время. В то время как линейная скорость измеряет, как длина дуги изменяется с течением времени, угловая скорость является мерой того, насколько быстро изменяется центральный угол с течением времени. Угловая скорость точки — это мера угла в радианах, деленная на время, которое требуется, чтобы этот угол опустить.
• Для точки \(P\), движущейся с постоянной (линейной) скоростью v по окружности окружности радиуса \(r\), имеем \[v = r\omega\], где \(\omega\) есть угловая скорость точки.

Эта страница под названием 1.4: Velocity and Angular Velocity используется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Тедом Сандстромом и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент. это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.