Содержание

определение, способы увеличения «косинуса фи»

Показатель коэффициента мощности двигателя, который обозначается как «косинус фи», обычно стараются сделать как можно больше. Чем меньше будет значение, тем большую силу должен иметь ток, чтобы выделить в цепи нужную мощность. Если при расчетах в чем-то ошибиться, то неизбежно увеличится потребление электроэнергии, а коэффициент полезного действия при этом, наоборот, уменьшится.

  • Важный показатель
  • Мгновенная мощность
  • Активная и реактивная
  • Увеличение значения

Важный показатель

Косинус фи — показатель приборов, работающих от электротока. Это параметр, который характеризует искажения формы переменного тока. Если говорить математическим языком, этот показатель можно охарактеризовать как отношение активной мощности к полной. Чем выше это значение, тем эффективнее устройство расходует электроэнергию.

Для объяснения физического значения коэффициента в пример можно взять расчет других связанных с ним параметров для одного из устройств. Допустим:

  1. В сеть переменного тока был включен идеальный конденсатор.
  2. Поскольку переменное напряжение периодически меняет свою полярность, устройство будет то заряжаться, то вновь возвращать сохраненную энергию к источнику.
  3. В итоге будет происходить циркуляция электронов.

В электросетях с постоянным током мощность, как и другие ключевые параметры, остается неизменной в течение некоторого периода. Для таких случаев применимо понятие мощности, представляющей собой произведение двух важных параметров тока — его силы и напряжения. Однако это нельзя сказать о токе переменном, ведь его параметры постоянно меняются. Именно поэтому нельзя просто определить значение по той формуле коэффициента мощности, которая используется для ее определения в случае с электросетью с постоянным током. По этой причине было введено такое понятие, как мгновенная мощность.

Мгновенная мощность

Этот показатель имеет непосредственное отношение к выделению энергии и к механической работе: то есть к тем явлениям, которые имеют инерционный характер. Применяется он исключительно для расчетов. В оценке расчетов различных показателей электрических сетей применяются также действующие значения силы тока и напряжения.

Измерительные приборы, знакомые со школьной скамьи — вольт- и амперметр — предназначены для измерения этих значений. Такой показатель, как полная мощность, по сути представляет собой произведение действующих силы тока и напряжения: достаточно их лишь перемножить.

Этот показатель используют при определении требований электросети. Измеряется не в ваттах, для этого существует специальная единица измерения с названием, которое прямо указывает на то, что именно нужно перемножить для определения значения — вольт-ампер.

Активная и реактивная

С появлением в электросети реактивных элементов начинают происходить изменения. Эти элементы могут накапливать энергию и затем возвращать ее. В итоге образуется так называемая реактивная мощность. Впрочем, она не выполняет никакую полезную работу. Разумеется, возвращается энергия уже с некоторыми потерями, поэтому в любой электросети реактивное значение пытаются свести к минимуму.

Активная мощность — это усредненное значение мгновенной за определенный временной отрезок. Она способна выполнять полезную работу. Для определения полной нужно активную и реактивную возвести в квадрат и затем из суммы этих квадратов извлечь квадратный корень.

Активную можно узнать, перемножив силу тока, напряжение и косинус фи. Если он будет равен единице, то активная мощность будет полностью соответствовать полной. Это будет означать, что потерь энергии нет вообще, и любая работа является полезной.

Коэффициент полезного действия в этом случае будет равен 100%. Случается это лишь на активной нагрузке, в сети, где нет реактивных элементов. Следовательно, при реактивной мощности не выполняется работа, однако, происходят потери, которые имеют обратно пропорциональную зависимость от косинуса фи. Чем ближе значение к единице, тем меньше потеря.

Увеличение значения

Косинус фи можно увеличить либо с помощью специальных компенсирующих устройств, либо без них. Первый способ подразумевает упорядочение процесса, которое улучшает энергетический режим. Определить коэффициент помогают специальные электроизмерительные приборы, называемые фазометрами.

Увеличивая значение косинуса фи в электрике, пытаются достичь трех главных целей:

  1. Таким способом хотят сэкономить электроэнергию.
  2. Увеличение косинуса фи способствует также экономии материала, который используется для изготовления проводников. Это тоже является экономией.
  3. Высокое значение показателя говорит о высоком коэффициенте полезного действия.

Показатель косинус фи обязательно нужно принимать во внимание при создании электросетей. Если он будет недостаточно высоким, это неизбежно приведет к огромным потерям энергии.

определение, физический смысл, расчеты, причины понижения

При оценке эффективности энергопотребления принимаются во внимание значения потребляемой электроэнергии и полной мощности, поставляемой электросетями. Потребляемая энергия определяется как активная мощность, которая идет на выполнение полезной механической работы, нагрева или освещения. При этом часть энергии затрачивается на трансформацию электрического тока отдельными элементами цепи (конденсаторами, катушками индуктивности, обмотками электродвигателей и т. д.) – так называемая реактивная составляющая. Для описания соотношения этих видов энергии вводят такое понятие, как коэффициент мощности.

  • Определение и физический смысл
  • Математические расчеты
  • Причины низкого коэффициента мощности
  • Коррекция коэффициента мощности

Определение и физический смысл

Коэффициент мощности (PF) определяется как отношение активной мощности (P) к полной (S). В проводниках переменного тока с постоянно меняющимися показателями последняя складывается из активной и реактивной (Q) мощностей, равняясь при этом произведению среднеквадратичных значений напряжения и силы тока. Для ее измерения используют внесистемную единицу вольт-ампер. Для простого выражения мощностного коэффициента используется процентное соотношение.

В физических расчетах для обозначения коэффициента мощности также используют «cos φ», имея в виду косинус сторон P/S в так называемом треугольнике мощностей, а также угол сдвига фаз напряжения и тока. Фазовый угол при этом может принимать значения от -1 до 1. Положительными величинами характеризуется рабочая мощность, отрицательными — энергия, вырабатываемая реактивными элементами.

Наличие в цепи реактивной составляющей при имеющемся расхождении тока и напряжения, а значит, и определенной величине коэффициента мощности, как правило, увеличивает нагрузку на источник энергии, что повышает теплоотдачу в проводниках и влечет за собой энергопотери. Значительное количество электроэнергии может теряться на подстанциях или в трансформаторных будках. Вместе с тем, при учете энергии, передаваемой конечному потребителю, в расчет принимается только активная мощность, потребляемая электрическими устройствами.

Математические расчеты

Являясь существенным параметром для цепей синусоидального тока, коэффициент мощности подлежит обязательному учету при разработке энергосистем. Для их корректного функционирования необходимо правильное определение этого параметра электроцепи. В противном случае велик риск избыточного энергопотребления, а также уменьшения коэффициента полезного действия электроприборов, включенных в неотрегулированную цепь.

Причиной же потерь электроэнергии могут служить низкие значения «косинуса фи». Будучи вызванным импульсной нагрузкой, недостаточный коэффициент мощности может стать причиной неправильного напряжения. Для цепей с непостоянными значениями силы тока (I) и напряжения (U) для вычисления ключевых параметров применяются следующие формулы:

org/ImageObject»>

Простейший расчет мощностного коэффициента можно показать на следующем примере. В цепь на 120 В включен электроприемник мощностью 1 кВт при силе тока в 1 А. В соответствии с вышеприведенными формулами, cos φ равняется: 1000 / 120 × 10 = 0,83, или же 83%.

Причины низкого коэффициента мощности

Учитывая все вышесказанное, можно сказать, что чем выше показатель PF, тем более эффективно используются базовые элементы сети, включая генераторы на электростанции, трансформаторы и линии электропередач. Если же мощностной коэффициент снижается, то на энерговырабатывающих станциях возрастают эксплуатационные затраты с необходимостью привлечения дополнительных источников электроэнергии.

Снижению же коэффициента мощности очень часто способствуют особенности эксплуатации оборудования на некоторых предприятиях. Так как активная работа тех или иных аппаратов в разных цехах то прекращается, то начинается снова, уровень рабочей мощности может непрерывно изменяться, следовательно, изменяются соотношение мощностей и «косинус фи».

Понижение PF непосредственно возникает из-за прерывистой работы электротехнического оборудования, включающего в себя реактивные детали. В их число входят:

  • асинхронные двигатели;
  • трансформаторы;
  • выпрямители переменного тока;
  • люминесцентные лампы с электромагнитными балластами и электронными пускорегуляторами;
  • электросварочные аппараты;
  • дуговые печи.

В активном режиме с почти полной нагрузкой электродвигатель, например, выдает достаточно большой cos φ. Однако этот показатель уменьшается по мере снижения мощности агрегата, притом что загруженность его реактивной части при неизменности электромагнитного тока практически остается на одном и том же уровне. Минимальных значений коэффициент мощности достигает при холостом режиме, находясь в диапазоне 0,1-0,3, в зависимости от основных характеристик электроприбора.

Ощутимое снижение PF наблюдается и в трансформаторных установках при активной загруженности менее чем на три четверти. При этом сохранение индуктивной составляющей ведет к увеличению полномощностной нагрузки.

Коррекция коэффициента мощности

Ввиду повышенной энергозатратности работы реактивных систем с нерезистивными нагрузками и в целях оптимизации энергопотребления проводят мероприятия по увеличению мощностного коэффициента. Коррекция «косинуса фи» в нужную сторону повышает пропускную способность электросистемы, оптимизируя энергопотери. Стабилизация энергопотребления предотвращает нежелательные падения напряжения в электросети, а значит, и критические сбои в работе оборудования. Кроме того, улучшение отношений мощностей способно сократить финансовые расходы на электроэнергию.

Разновидности коррекции

Непосредственной целью корректировки cos φ является приближение показателя значению 1. Это достигается с помощью компенсирующих устройств или путем сглаживания неравномерного потребления нагрузки. Процедура обязательно выполняется для цепей с импульсными стабилизаторами напряжения и трехфазных сетей, чтобы не допускать перегрузки нейтральной проводящей части.

Метод компенсации реактивной мощности предполагает включение в сеть реактивных компонентов обратного действия. Типичным корректирующим устройством при этом является конденсатор. Данный метод часто применяется на производственных предприятиях, использующих асинхронные электродвигатели. В целом, компенсационные мероприятия позволяют:

  • снизить нагрузку на электропередающие линии, трансформаторы и коммутаторы;
  • уменьшить искажение формы напряжения;
  • повысить качество электрической энергии в электроприборах;
  • сэкономить на плате за электроэнергию.

Индуктивные устройства являются обязательным оборудованием в промышленности. Одно из их электродинамических свойств — сохранение тока в неизменном состоянии. Так как такое действие провоцирует расхождение циклов U и I, оно должно компенсироваться емкостными устройствами, стремящимися сохранить напряжение. На производствах эту роль выполняют целые блоки конденсаторов (БК), а также синхронные двигатели различной конструкции.

Применение конденсаторных установок снижает потери действительной мощности до 0,3%. БК обладает рядом преимуществ, включая несложную регулировку мощностных параметров под изменяющиеся условия работы, надежную стабилизацию напряжения, простоту эксплуатации и недорогое обслуживание. Конденсаторные установки бывают разного типа, в зависимости от своего назначения. Высоковольтные компенсаторы (6-35 кВ) применяются на распределительных подстанциях, низковольтные батареи конденсаторов (0,4-0,6 кВ) служат для корректировки тока на нагрузках от производственных устройств. Высокое быстродействие БК позволяет компенсировать не только постоянное фазовое смещение, но и нелинейную мощность от индуктивных элементов.

Реактивная часть энергии также может уменьшаться за счет ее потребления синхронной машиной. Будучи подключенным к электросети, аппарат работает с опережающим cos φ, вырабатывая те параметры электроэнергии, которые нужны для поддержки напряжения в конкретный момент.

Помимо коррекции реактивной энергии, идущей от индуктивных аппаратов, также выполняется корректировка нелинейного потребления электрического тока. В случае непостоянных нагрузок в электросети реализуется схема активной или пассивной нормализации «косинуса фи». Для этого может быть использован «электрический реактор», представляющий собой обмотку с высокой степенью индуктивности. Такая катушка сглаживает неровное потребление энергии и выделяет необходимые для работы электроприборов гармоники.

Понравилась статья? Расскажите друзьям:

Оцените статью, для нас это очень важно:

Проголосовавших: 1 чел.
Средний рейтинг: 5 из 5.

Cos pi — Найти значение Cos pi

30-DAY PROMIS | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

LearnPracticeDownload

Значение cos pi равно -1 . Cos pi радиан в градусах записывается как cos ((π) × 180°/π), т. е. cos (180°). В этой статье мы обсудим методы нахождения значения cos pi на примерах.

  • Кос pi: -1
  • Кос (-пи): -1
  • Cos pi в градусах: cos (180°)

Каково значение Cos pi?

Значение cos pi равно -1. Cos pi также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (pi) в градусах (180°).

Мы знаем, используя преобразование радиан в градусы, θ в градусах = θ в радианах × (180°/pi)
⇒ пи радианы = пи × (180°/пи) = 180° или 180 градусов
∴ cos pi = cos π = cos(180°) = -1

Объяснение:

Для cos pi угол pi лежит на отрицательной оси x. Таким образом, значение cos pi = -1
Поскольку функция косинуса является периодической функцией, мы можем представить cos pi как cos pi = cos (pi + n × 2pi), n ∈ Z.
⇒ cos pi = cos 3pi = cos 5pi и так далее.
Примечание: Поскольку косинус является четной функцией, значение cos(-pi) = cos(pi).

Методы определения значения cos pi

Значение cos pi принимается равным -1. Мы можем найти значение cos pi:

  • Используя тригонометрические функции
  • Использование единичного круга

Cos pi в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить cos pi как:

  • ± √(1-sin²(pi))
  • ± 1/√(1 + тангенс²(пи))
  • ± раскладушка(пи)/√(1 + раскладушка²(пи))
  • ±√(косек²(пи) — 1)/косек(пи)
  • 1/сек (пи)

Примечание: Поскольку число пи лежит на отрицательной оси абсцисс, окончательное значение косинуса пи равно -1.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos pi как

  • -cos(pi — pi) = -cos 0
  • -cos(pi + pi) = -cos 2pi
  • sin(pi/2 + pi) = sin 3pi/2
  • грех(пи/2 — пи) = грех(-пи/2)

Cos pi с помощью единичной окружности

Чтобы найти значение cos π с помощью единичной окружности:

  • Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол пи с положительной осью x.
  • Косвенный коэффициент числа пи равен x-координате (-1) точки пересечения (-1, 0) единичной окружности и r.

Отсюда значение cos pi = x = -1

☛ Также проверьте:

  • tan 7pi/4
  • грех 7pi/6
  • csc пи/6
  • с пи/3
  • cos 3pi/2
  • рыжевато-коричневый 5pi/2

Примеры использования Cos pi

  1. Пример 1: Упростить: 8 (cos(pi)/sin(3pi/2))

    Решение:

    Мы знаем, что cos pi = sin 3pi/2
    ⇒ 8 cos(pi)/sin(3pi/2) = 8 (cos(pi)/cos(pi))
    = 8(1) = 8

  2. Пример 2. Найдите значение 2 cos(pi)/3 sin(-pi/2).

    Решение:

    Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что cos(pi) = sin(pi/2 — pi) = sin(-pi/2).
    ⇒ cos(pi) = sin(-pi/2)
    ⇒ Значение 2 cos(pi)/3 sin(-pi/2) = 2/3

  3. Пример 3: Используя значение cos pi, решить: (1-sin²(pi)).

    Решение:

    Мы знаем, (1-sin²(pi)) = (cos²(pi)) = 1
    ⇒ (1-sin²(пи)) = 1

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Cos pi

Что такое Cos pi?

Cos pi — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного π радианам. Значение cos pi равно -1.

Каково значение Cos pi с точки зрения Sin pi?

Используя тригонометрические тождества, мы можем записать cos pi через sin pi как, cos(pi) = -√(1 — sin²(pi)). Здесь значение sin pi равно 0.

Как найти значение Cos pi?

Значение cos pi можно рассчитать, построив угол в π радиан с осью x, а затем найдя координаты соответствующей точки (-1, 0) на единичной окружности. Значение cos pi равно x-координате (-1). ∴ потому что пи = -1.

Как найти cos pi с точки зрения других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение cos pi может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

  • ± √(1-sin²(pi))
  • ± 1/√(1 + тангенс²(пи))
  • ± раскладушка(пи)/√(1 + раскладушка²(пи))
  • ±√(косек²(пи) — 1)/косек(пи)
  • 1/сек (пи)

☛ Также проверьте: таблицу тригонометрии

Каково значение Cos pi в терминах Sec pi?

Поскольку функция секанса является обратной функцией косинуса, мы можем записать косинус пи как 1/сек(пи). Значение sec pi равно -1.

 

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Круг единиц измерения: функции синуса и косинуса

Результаты обучения

900 12

  • Найдите значения функции для синуса и косинуса специальных углов.
  • Определение области определения и диапазона функций синуса и косинуса.
  • Используйте опорные углы для оценки тригонометрических функций.
  • Вычислите значения синуса и косинуса с помощью калькулятора.
  • Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начнем с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает [латекс]t[/латекс], образует дуга длиной [латекс]s[/латекс]. Используя формулу [латекс]s=rt[/латекс] и зная, что [латекс]r=1[/латекс], мы видим, что для единичного круга , [латекс]s=t[/латекс].

    Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемые квадрантами. Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление положительного угла. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

    Для любого угла [латекс]t[/латекс] мы можем пометить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс]. Координаты [латекс]х[/латекс] и [латекс]у[/латекс] будут выходами тригонометрических функций [латекс]f\left(t\right)=\cos t[/латекс] и [латекс] f\left(t\right)=\sin t[/latex] соответственно. Это означает [латекс]x=\cos t[/латекс] и [латекс]у=\sin t[/латекс].

    Рисунок 2. Единичная окружность, центральный угол которой равен [латекс]t[/латекс] радианам

    A Общее примечание: Единичная окружность

    Единичная окружность имеет центр в точке [латекс]\left(0, 0\right)[/latex] и радиус [latex]1[/latex] . В единичном круге длина пересекаемой дуги равна радианной мере центрального угла [латекс]1[/латекс].

    Пусть [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] будет концом единичной окружности дуги с длиной дуги [латекс]s[/латекс]. Координаты [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] этой точки можно описать как функции угла.

    Определение функций синуса и косинуса

    Теперь, когда мы пометили нашу единичную окружность, мы можем узнать, как координаты [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] соотносятся с длиной дуги и углом . {2} [ /латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают стенографию. Если вы сомневаетесь, используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

    Общее примечание: функции синуса и косинуса

    Если [latex]t[/latex] является действительным числом и точка [latex]\left(x,y\right)[/latex] на единичной окружности соответствует угол [латекс]t[/латекс], затем

    [латекс]\cos t=x[/латекс]

    [латекс]\sin t=y[/латекс]

    Как: Дана точка

    P [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] на единичной окружности, соответствующей углу [латекс]t[/латекс], найдите синус и косинус.

    1. Синус [latex]t[/latex] равен y -координата точки [latex]P:\sin t=y[/latex].
    2. Косинус [latex]t[/latex] равен x -координате точки [latex]P: \text{cos}t=x[/latex].

    Пример 1. Нахождение значений функции для синуса и косинуса

    Точка [latex]P[/latex] — это точка на единичной окружности, соответствующая углу [latex]t[/latex], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс]\cos\left(t\right)[/latex] и [латекс]\text{sin}\left(t\right)[/latex].

    Рисунок 4

    Показать решение

    Попробуйте

    Некоторый угол [latex]t[/latex] соответствует точке на единичной окружности в точке [latex]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\ sqrt{2}}{2}\right)[/latex], как показано на рисунке 5. Найдите [latex]\cos t[/latex] и [latex]\sin t[/latex].

    Рисунок 5

    Показать решение

    Нахождение синусов и косинусов углов на оси

    Для четырехугольных углов соответствующая точка на единичной окружности приходится на 9{2}t=1[/latex], известный как Пифагорейская идентичность .

    Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам нужно дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем квадрант, в котором находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.

    Общее примечание: Пифагорейская идентичность

    Пифагорейская идентичность 9{2}t=1[/latex]

    Как сделать: Зная синус некоторого угла [latex]t[/latex] и его положение в квадранте, найдите косинус [latex]t[/latex].

    1. Подставить известное значение [латекс]\sin\left(t\right)[/латекс] в тождество Пифагора.
    2. Найдите [латекс]\cos\left(t\right)[/латекс].
    3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [латекс]t[/латекс].

    Пример 3. Нахождение косинуса по синусу или синуса по косинусу

    Если [латекс]\sin \left(t\right)=\frac{3}{7}[/latex] и [latex]t[/latex] находится во втором квадранте, найти [latex]\cos \ влево(т\вправо)[/латекс].

    Показать решение

    Попробуйте

    Если [латекс]\cos \left(t\right)=\frac{24}{25}[/latex] и [латекс]t[/латекс] находится в четвертом квадранте, найдите [латекс ]\sin\left(t\right)[/латекс].

    Показать решение

    Попробуйте

    Нахождение синусов и косинусов специальных углов

    Мы уже изучили некоторые свойства специальных углов, например преобразование радианов в градусы. Мы также можем вычислить синусы и косинусы специальных углов, используя 9\circ [/latex] треугольник является равнобедренным треугольником, поэтому координаты x и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны. Рис. 9 Это означает, что радиус лежит вдоль линии [латекс]у=х[/латекс]. Радиус единичной окружности равен 1. Итак, прямоугольный треугольник, образованный под линией [latex]y=x[/latex], имеет стороны [latex]x[/latex] и [latex]y\text{ }\left (y=x\right)[/latex], а радиус = 1,9{2}=\frac{1}{2}\\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{gathered}[/latex]

    В квадранте I [latex]x= \frac{1}{\sqrt{2}}[/latex].

    В [латекс]t=\frac{\pi }{4}[/латекс] или 45 градусов, x\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ x=\frac{1}{\sqrt{2 }},y=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \cos t=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin t=\frac{1}{\sqrt{2 }} \end{gathered}[/latex]

    Если мы затем рационализируем знаменатели, то получим

    9\circ [/latex], как показано на рисунке 12.

    Рисунок 11

     

    Рисунок 12

    Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [latex]2y[/latex], и поскольку все стороны равны, мы также можем заключить, что [latex]r=2y[/latex] или [latex]y=\frac{1}{2 }р[/латекс]. Поскольку [латекс]\sin t=y[/латекс] ,

    [латекс]\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}r[/latex]

    А так как [latex]r=1[/latex] в нашем 9\circ [/латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс]ABC[/латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичной окружности, все стороны должны иметь длину 1.

    Рисунок 13

    Угол [латекс]ABD[/латекс] равен 30°. Итак, если число двойное, угол [латекс]АВС[/латекс] равен 60°. [latex]BD[/latex] является серединным перпендикуляром к [latex]AC[/latex], поэтому он делит [latex]AC[/latex] пополам. Это означает, что [latex]AD[/latex] — это [latex]\frac{1}{2}[/latex] радиус, или [latex]\frac{1}{2}[/latex]. Обратите внимание, что [latex]AD[/latex] — это 9\circ [/latex] равны [латекс]\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\[/latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.

    [латекс] \ begin {собраны} \ влево (x, y \ вправо) = \ влево (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ x =\ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ frac {\ sqrt {3 }}{2} \end{gathered}[/latex]

    Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.

    Угол 0 [латекс]\frac{\pi }{6}[/латекс], или 30° [латекс]\frac{\pi }{4}[/латекс], или 45° [латекс]\frac{\pi }{3}[/латекс], или 60° [латекс]\frac{\pi }{2}[/латекс], или 90°
    Косинус 1 [латекс]\frac{\sqrt{3}}{2}[/латекс] [латекс]\frac{\sqrt{2}}{2}[/латекс] [латекс]\фракция{1}{2}[/латекс] 0
    Синус 0 [латекс]\фракция{1}{2}[/латекс] [латекс]\frac{\sqrt{2}}{2}[/латекс] [латекс]\frac{\sqrt{3}}{2}[/латекс] 1

    На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности. Рисунок 140009 специальные углы , обратимся к компьютеру или калькулятору. Имейте в виду : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градусы» или «радианы», которые сообщают калькулятору единицы измерения для входного значения. Когда мы оцениваем [латекс]\cos \left(30\right)[/латекс] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или как косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.

    Как: Зная угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.


    1. Если в калькуляторе есть режимы в градусах и в радианах, установите его в режим в радианах.
    2. Нажмите клавишу COS.
    3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу закрытия скобок «)».
    4. Нажмите ВВОД.

    Пример 4. Использование графического калькулятора для нахождения синуса и косинуса

    Вычислите значение [latex]\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)[/latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.

    Показать решение

    Попробуй

    Вычислить [латекс]\sin\left(\frac{\pi }{3}\right)[/latex].

    Показать решение

    Определение области определения и диапазона функций синуса и косинуса

    Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области определения и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, каковы наименьшее и наибольшее числа, которые могут быть входными данными функций? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс]2\пи [/латекс] все еще могут быть изображены на единичном круге и имеют реальные значения [латекс]x,y[/латекс] и [латекс]r[/ латекс], нет нижнего или верхнего предела углов, которые могут быть входными данными для функций синуса и косинуса. Входными данными для функций синуса и косинуса является вращение от положительной x -ось, и это может быть любое действительное число.

    Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшее и максимальное возможные значения их выхода? Мы можем увидеть ответы, изучив единичный круг размером , как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны [латекс]\лево[-1,1\право][/латекс]. Границы координаты y также равны [латекс]\влево[-1,1\вправо][/латекс]. Таким образом, диапазон функций синуса и косинуса составляет [латекс]\влево[-1,1\вправо][/латекс].

    Рисунок 15

    Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с таким же значением синуса. Поскольку значением синуса является координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь такое же значение y , но противоположное значение x . Следовательно, его значение косинуса будет противоположно значению косинуса первого угла.

    Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с тем же косинусом, что и исходный угол. Угол с тем же косинусом будет иметь такое же значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположно значению синуса исходного угла.

    Как показано на рисунке 16, угол [латекс]\альфа [/латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс]t[/латекс]; значения косинуса противоположны. Угол [латекс]\бета [/латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс]t[/латекс]; значения синуса противоположны.

    [латекс]\begin{array}{ccc}\sin \left(t\right)=\sin \left(\alpha \right)\hfill & \text{and}\hfill & \cos \left(t \right)=-\cos \left(\alpha \right)\hfill \\ \sin \left(t\right)=-\sin \left(\beta \right)\hfill & \text{and}\hfill & \cos \left(t\right)=\cos \left(\beta \right)\hfill \end{array}[/latex]

    Рисунок 16

    острый угол, [латекс]t[/латекс], образованный конечной стороной угла [латекс]t[/латекс] и горизонтальной осью. \circ \mathrm{-t}|[/латекс]. 9\circ [/latex], как показано на рисунке 18.

    Рисунок 18

    Показать решение

    Попробуйте

    Найдите исходный угол [латекс]\фракция{5\пи }{3}[/латекс].

    Показать решение

    Использование опорных углов

    Теперь давайте еще раз рассмотрим колесо обозрения, представленное в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись в двадцати футах над уровнем земли. Затем всадник вращается на три четверти круга. Какова новая высота всадника? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах, превышающих 90 градусов или под отрицательным углом . Опорные углы позволяют вычислять тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для нахождения [латексных]\левых(х,у\правых)[/латексных] координат для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором лежит конечная сторона угла.

    Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций

    Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если знаем косинус или синус его опорного угла. Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака числа 9.0244 x -значения в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений и в этом квадранте.

    Общее примечание: использование опорных углов для нахождения косинуса и синуса

    Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы. Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

    Как сделать: по заданному углу в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.


    1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
    2. Определить значения косинуса и синуса опорного угла.
    3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.
    4. Присвойте синусу тот же знак, что и y -значения в квадранте исходного угла.

    Пример 6. Использование опорных углов для нахождения синуса и косинуса 9\circ \right)[/латекс].

    б. Используйте опорный угол [латекс]-\frac{\pi }{6}[/латекс], чтобы найти [латекс]\cos\left(-\frac{\pi }{6}\right)[/латекс] и [латекс]\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)[/латекс].

    Показать решение

    Попробуйте

    Использование опорных углов для нахождения координат

    Теперь, когда мы научились находить значения косинуса и синуса для специальных углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы для заполнения значений косинуса и синуса для остальные специальные углы на единичной окружности. Они показаны на рисунке 19.. Потратьте время, чтобы узнать [латексные]\левые(х,у\правые)[/латексные] координаты всех основных углов в первом квадранте.

    Помимо изучения значений специальных углов, мы можем использовать эталонные углы для нахождения [латексных]\левых(х,у\правых)[/латексных] координат любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об эталонных углы вместе с тождествами

    [латекс]\begin{gathered}x=\cos t \\ y=\sin t \end{gathered}[/latex]

    Сначала находим опорный угол, соответствующий заданному угол. Затем мы берем значения синуса и косинуса опорный угол , и присвойте им знаки, соответствующие y — и x -значениям квадранта.

    Как сделать: Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] координаты точки.

    1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол относительно оси x .
    2. Найдите косинус и синус опорного угла.
    3. Определите соответствующие знаки для [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]
      в данном квадранте.

    Пример 7.

    Использование единичной окружности для поиска координат

    Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex]\frac{7\pi }{6}[/latex].

    Показать решение

    Попробуйте

    Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [latex]\frac{5\pi }{3}[/latex].

    Показать решение

    Ключевые уравнения

    Косинус [латекс]\cos t=x[/латекс] 9{2}t=1[/латекс]

    Ключевые понятия

    • Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом в 1 единицу.
    • Используя единичную окружность, синус угла [latex]t[/latex] равен y -значению конечной точки единичной окружности дуги длины [latex]t[/latex], тогда как косинус угла угол [latex]t[/latex] равен x -значению конечной точки.
    • Значения синуса и косинуса наиболее непосредственно определяются, когда соответствующая точка на единичной окружности попадает на ось.
    • Когда синус или косинус известны, мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти другое. Тождество Пифагора также полезно для определения синусов и косинусов специальных углов.
    • Калькуляторы и программы для построения графиков полезны для нахождения синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
    • Областью определения функций синуса и косинуса являются все действительные числа.
    • Диапазон функций синуса и косинуса: [латекс]\влево[-1,1\вправо][/латекс].
    • Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус исходного угла.
    • Знаки синуса и косинуса определяются из значений x – и y в квадранте исходного угла.
    • Опорный угол угла — это угол размера, [latex]t[/latex],
      образованный конечной стороной угла [latex]t[/latex] и горизонтальной осью.
    • Опорные углы можно использовать для нахождения синуса и косинуса исходного угла.
    • Справочные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.