Вращающий момент | это… Что такое Вращающий момент?

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы приложенный к гаечному ключу

Отношение между векторами силы, момента силы и импульса во вращающейся системе

Момент силы

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы!

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искуственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол и вектором силы .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .

В первом случае, используя теорему Пифагора, можно записать следующее равенство , где в случае малого угла справедливо и следовательно

Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

Теперь видно, что произведение есть ни что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуля вектора момента силы .

И теперь полная работа записывается очень просто или .

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н*м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н*м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

τ = МОМЕНТ РЫЧАГА * СИЛУ

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

= РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА * СИЛУ

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то τ = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении Στ=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момент импульса,

,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть если I постоянная, то

,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и O_F, на вектор силы :

.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона

Вращающий момент | это… Что такое Вращающий момент?

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы приложенный к гаечному ключу

Отношение между векторами силы, момента силы и импульса во вращающейся системе

Момент силы

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние до оси которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы!

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искуственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол и вектором силы .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .

В первом случае, используя теорему Пифагора, можно записать следующее равенство , где в случае малого угла справедливо и следовательно

Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

Теперь видно, что произведение есть ни что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуля вектора момента силы .

И теперь полная работа записывается очень просто или .

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является «ньютон-метр». Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н*м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н*м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, τ — вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

τ = МОМЕНТ РЫЧАГА * СИЛУ

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

= РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА * СИЛУ

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то τ = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении Στ=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момент импульса,

,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть если I постоянная, то

,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющий точки O и O_F, на вектор силы :

.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н•м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

См. также

• Момент инерции
• Момент импульса
• Теорема Вариньона

Учебное пособие по крутящему моменту и вращательному движению

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент — это мера того, насколько сила, действующая на объект, заставляет этот объект вращаться. Объект вращается вокруг оси, которую мы назовем точкой поворота и обозначим ‘\(O\)’. Мы будем называть силу ‘\(F\)’. Расстояние от точки вращения до точки, где действует сила, называется плечом момента и обозначается «\(r\)». Обратите внимание, что это расстояние ‘\(r\)’ также является вектором и указывает от оси вращения до точки, где действует сила. (Обратитесь к рисунку 1 для графического представления этих определений.)

Рисунок 1: Определения

Крутящий момент определяется как  \(\Gamma = r \times F = rF \sin (\theta)\).

Другими словами, крутящий момент представляет собой перекрестное произведение между вектором расстояния (расстояние от точки вращения до точки приложения силы) и вектором силы, где ‘\(a\)’ представляет собой угол между \(r\) и \(F. \)

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение, также называемое векторным произведением, представляет собой операцию над двумя векторами. Перемножение двух векторов дает третий вектор, который перпендикулярен плоскости, в которой лежат первые два. То есть для пересечения двух векторов \(A\) и \(B\) мы размещаем \(A\) и \(B\) так, чтобы их хвосты находились в одной точке. Затем их векторное произведение \(A \times B\) дает третий вектор, скажем, \(C\), хвост которого также находится в той же точке, что и у \(A\) и \(B.\) Вектор \(C\) указывает направление, перпендикулярное (или нормальное) к обоим \(A\) и \(B). Направление \(C\) зависит от правила правой руки.

Рисунок CP 1: \(A \times B = C\)

Если угол между \(A\) и \(B\) равен , то векторное произведение \(A\) и \(B\ ) можно выразить как 

\(A \times B = A B \sin(\theta)\)

Рисунок CP2: \(B \times A = D\)

Если компоненты для векторов \(A\) и \ (B\) известны, то мы можем выразить компоненты их векторного произведения, \(C = A \times B\) следующим образом A_xB_z\)
\(C_z = A_xB_y — A_yB_x\)
 
Далее, если вы знакомы с определителями, \(A \times B\), равно 

\(A \times B = \Biggr| \begin {matrix} i \quad j \quad k \\ A_x \; A_y \; A_z \\ B_x \; B_y \; B_z \end{matrix} \Biggr|\)

Сравнивая рисунки CP1 и CP2, мы замечаем, что 
\(A \times B = — B \times A\)

Очень хорошая симуляция, позволяющая исследовать свойства перекрестного произведения, доступна по ссылке ЗДЕСЬ. Используйте кнопку «назад», чтобы вернуться в это место.

Используя правило правой руки , мы можем найти направление вектора крутящего момента. Если мы направим пальцы в направлении \(r,\) и согнем их в направлении \(F,\), то большой палец будет указывать в направлении вектора крутящего момента.

Правило правой руки

Вопрос

В каком направлении крутящий момент на этой диаграмме относительно точки вращения, обозначенной \(O\)?

Рисунок RHR 1: Схема проблемы Рисунок RHR 2: Схема проблемы, сила была преобразована, чтобы упростить использование правила правой руки

Решение

Здесь мы предполагаем, что векторы силы \(F,\) и плеча момента r были первоначально размещены «голова к голове» (то есть, \(F\) указывал на острие стрелки \(r,\) не в своей точке вращения). Это показано на рис. RHR 1. Однако, переводя вектор силы в его положение на рис. RHR 2, использование правила правой руки становится более очевидным.

Без этого уточнения можно интерпретировать рисунок RHR 2 как вектор силы, проходящий через точку вращения, и в этом случае крутящего момента не будет. Это связано с определением плеча момента, которое представляет собой расстояние между точкой вращения и точкой, в которой действует сила. Если сила действует прямо на точку вращения, то \(r = 0,\), поэтому крутящего момента не будет. (Имея плечо момента, равное нулю, это все равно, что пытаться открыть дверь, нажимая на ее петли; ничего не происходит, потому что приложенная сила не создает крутящего момента.)

Вспомните использование правила правой руки при расчете крутящего момента. Пальцы должны быть направлены в сторону первого вектора и согнуты в сторону второго вектора. В этом случае крутящий момент представляет собой перекрестное произведение плеча момента и крутящего момента. Таким образом, пальцы будут указывать в том же направлении, что и плечо момента, и свернуты в направлении силы (по часовой стрелке). Направление вашего большого пальца — это направление крутящего момента; в этом случае крутящий момент попадает на экран.

Мы можем представить «внутри» и «из» с помощью символов при рисовании трехмерных диаграмм. Символ «в» – это  (предполагается, что это конец стрелки), а «из» –  (это кончик стрелки).

Рисунок RHR 3: Схема решенной проблемы (результирующий крутящий момент находится на экране)

Представьте, что вы толкаете дверь, чтобы открыть ее. Сила вашего толчка (\(F\)) заставляет дверь вращаться вокруг своих петель (точка вращения, \(O\)). То, насколько сильно вам нужно нажимать, зависит от расстояния, на котором вы находитесь от петель (\(r\)) (и от нескольких других вещей, но давайте их сейчас проигнорируем). Чем ближе вы к петлям (т.е. чем меньше \(r\)), тем труднее нажимать. Вот что бывает, когда пытаешься толкнуть дверь не с той стороны. Крутящий момент, создаваемый вами на двери, меньше, чем если бы вы отодвинули правильную сторону (от ее петель).

Обратите внимание, что приложенная сила \(F,\) и плечо момента \(r,\) не зависят от объекта. Кроме того, сила, приложенная к точке поворота, не вызовет крутящего момента, поскольку плечо момента будет равно нулю (\(r = 0\)).

Другой способ выражения приведенного выше уравнения состоит в том, что крутящий момент является произведением величины силы и перпендикулярного расстояния от силы до оси вращения (т.е. точки поворота).

Пусть сила, действующая на объект, разбита на тангенциальную (\(F_{tan}\)) и радиальную (\(F_{rad}\)) составляющие (см. рис. 2). (Обратите внимание, что тангенциальная составляющая перпендикулярна плечу момента, а радиальная составляющая параллельна плечу момента.) Радиальная составляющая силы не влияет на крутящий момент, поскольку она проходит через точку поворота. Таким образом, только тангенциальная составляющая силы влияет на крутящий момент (поскольку она перпендикулярна линии между точкой действия силы и точкой поворота).

Рисунок 2: Тангенциальная и радиальная составляющие силы F

На объект может действовать более одной силы, и каждая из этих сил может действовать на разные точки объекта. Тогда каждая сила будет вызывать крутящий момент. Чистый крутящий момент представляет собой сумму отдельных крутящих моментов.

Вращательное равновесие аналогично поступательному равновесию, где сумма сил равна нулю. При вращательном равновесии сумма крутящих моментов равна нулю. Другими словами, на объекте нет чистого крутящего момента.

\(\sum \tau = 0\)

Обратите внимание, что единицами крутящего момента в системе СИ является ньютон-метр , что также является способом выражения джоуля (единицы измерения энергии). Однако крутящий момент — это не энергия. Итак, чтобы избежать путаницы, мы будем использовать единицы Н·м, а не Дж. Различие возникает из-за того, что энергия — это скалярная величина, а крутящий момент — это вектор.

Полезное и интересное интерактивное занятие по вращательному равновесию.

Крутящий момент и угловое ускорение

В этом разделе мы разработаем взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением. Для этого раздела вам необходимо иметь общее представление о моментах инерции.

Момент инерции

Момент инерции является аналогом массы при вращении. Просмотрите определения, как объяснено в вашем учебнике.

В следующей таблице приведены моменты инерции для различных обычных тел. «М» в каждом случае — это общая масса объекта. 92\)

Рис. 3. Радиальная и тангенциальная составляющие силы, два измерения

Представьте себе силу F, действующую на некоторый объект на расстоянии r от его оси вращения. Мы можем разбить силу на тангенциальную (\(F_{tan}\)), радиальную (\(F_{rad}\)) (см. рис. 3). (Это предполагает двумерный сценарий. Для трех измерений — более реалистичной, но и более сложной ситуации — у нас есть три компонента силы: тангенциальная составляющая \(F_{tan}\), радиальная составляющая \( F_{rad}\) и z-компонента \(F_z\). Все компоненты силы взаимно перпендикулярны или нормальны.) 92\), умноженное на угловое ускорение, \(\альфа\).

\(\sum \tau = I\cdot \alpha\)

Панель 4: Радиальная, тангенциальная и z-компоненты силы, три измерения

Если провести аналогию между поступательным и вращательным движением, то это соотношение между угловое ускорение аналогично второму закону Ньютона. А именно, принимая крутящий момент за аналог силы, момент инерции за аналог массы и угловое ускорение за аналог ускорения, мы получаем уравнение, очень похожее на второй закон.

Пример задачи: Качающаяся дверь

Вопрос

В спешке, чтобы поймать такси, вы мчитесь через плавно вращающуюся дверь на тротуар. Сила, которую вы приложили к двери, была \(50 Н,\) приложена перпендикулярно плоскости двери. Ширина двери \(1,0\;м\). Предполагая, что вы толкнули дверь за ее край, каков был крутящий момент на распашной двери (принимая петлю за точку опоры)?

Подсказки

1. Где точка поворота?
2. Какая сила была приложена?
3. На каком расстоянии от точки вращения была приложена сила?
4. Какой угол между дверью и направлением силы?

Решение

Точка поворота находится на петлях двери, напротив того места, где вы толкали дверь. Сила, которую вы использовали, была \(50 Н,\) на расстоянии \(1,0\;м\) от точки вращения. Вы ударили по двери перпендикулярно ее плоскости, поэтому угол между дверью и направлением силы был \(90\) градусов.

Так как
\(\tau = r \times F = r F \sin (\theta)\) 

Диаграмма примера задачи

, то крутящий момент на двери был:
\(\tau = (1,0 м) (50 Н ) \sin(90)\)
\(\tau = 50 Н·м\)

Обратите внимание, что это только величина крутящего момента; чтобы завершить ответ, нам нужно найти направление крутящего момента. Используя правило правой руки , мы видим, что направление крутящего момента выходит за пределы экрана.

Крутящий момент (момент)