Угловая скорость вращения формула: Угловая скорость

Содержание

Формула угловой скорости в физике

Содержание:

Определение и формула угловой скорости
Равномерное вращение
Формула, связывающая линейную и угловую скорости
Единицы измерения угловой скорости
Примеры решения задач

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность
с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота
$(\varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота
$\bar{d\varphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела
$(d \varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону,
откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами.
Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой
$\omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:

$$\bar{\omega}=\frac{d \bar{\varphi}}{d t}=\dot{\bar{\varphi}}(1)$$

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее
с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости),
так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar{\omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол,
то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$\omega=\frac{\varphi}{t}(2)$$

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот
($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

$$\omega=\frac{2 \pi}{T}(3)$$

С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:

$$\omega=2 \pi \nu(4)$$

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения,
но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно
с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $\bar{v}$ точки А (рис. {3} \approx 20(\mathrm{rad})$$

Ответ. $\varphi = 20$ рад.

Читать дальше: Формула удельного веса.

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

если известно количество оборотов n за единицу времени t:
если задан угол поворота φ за единицу времени:
если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:

Размерности угловой скорости:

Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

равномерное вращение (ω — const)
равнопеременное вращение (ε — const)

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

Примеры расчета угловой скорости и ускорения
Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.
Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

НАБОР СТУДЕНТА ДЛЯ УЧЁБЫ

На нашем сайте можно бесплатно скачать:

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

Сохранить или поделиться с друзьями

Заказать решение

Поиск формул и решений задач

Угол поворота и угловая скорость

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Определять длину дуги, угол поворота, радиус кривизны и угловую скорость.
Рассчитайте угловую скорость вращения колеса автомобиля.

В кинематике мы изучали движение по прямой и ввели такие понятия, как перемещение, скорость и ускорение. Двумерная кинематика имеет дело с движением в двух измерениях. Движение снаряда — это частный случай двумерной кинематики, в котором объект проецируется в воздух, подвергаясь действию силы гравитации, и приземляется на расстоянии. В этой главе мы рассмотрим ситуации, когда объект не приземляется, а движется по кривой. Начнем изучение равномерного кругового движения с определения двух угловых величин, необходимых для описания вращательного движения.

Угол поворота

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда CD (компакт-диск) на рис. 1 вращается вокруг своего центра, — каждая точка объекта движется по дуге окружности. Рассмотрим линию от центра компакт-диска к его краю. Каждая яма , используемая для записи звука вдоль этой линии, перемещается под одним и тем же углом за одно и то же время. Угол поворота представляет собой величину поворота и аналогичен линейному расстоянию. Определим угол поворота Δ θ как отношение длины дуги к радиусу кривизны: [латекс]\displaystyle\Delta\theta=\frac{\Delta{s}}{r}\\[/latex]

Рисунок 1. Все точки на компакт-диске движутся по дугам окружности. Все ямы вдоль линии от центра к краю перемещаются на один и тот же угол Δθ за время Δt .

Рис. 2. Радиус окружности повернут на угол Δθ . Длина дуги Δs описана на окружности.

длина дуги Δs это расстояние, пройденное по круговому пути, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что r – это радиус кривизны кругового пути.

Мы знаем, что для одного полного оборота длина дуги равна длине окружности радиусом r . Длина окружности равна 2π r . Таким образом, для одного полного оборота угол поворота равен

[латекс]\displaystyle\Delta\theta=\frac{2\pi{r}}{r}=2\pi\\[/latex].

Этот результат является основой для определения единиц, используемых для измерения углов поворота, Δ θ до радиан (рад), определенных таким образом, что 2π рад = 1 оборот.

Сравнение некоторых полезных углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, показано в таблице 1.

Таблица 1. Сравнение угловых единиц
Градусы	Измерение в радианах
30º	[латекс]\displaystyle\frac{\pi}{6}\\[/латекс]
60º	[латекс]\displaystyle\frac{\pi}{3}\\[/латекс]
90º	[латекс]\displaystyle\frac{\pi}{2}\\[/латекс]
120º	[латекс]\displaystyle\frac{2\pi}{3}\\[/латекс]
135º	[латекс]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\\[/латекс]
180º	№

Рис. 3. Точки 1 и 2 поворачиваются на один и тот же угол (Δθ), но точка 2 перемещается по большей дуге (Δs), поскольку находится на большем расстоянии от центра вращения (r). 9{\circ}\\[/латекс].